代数_域

域的定义、性质和分类

定义

数学中，域是一种数学结构，它包括一个非空的集合和两个二元运算：加法和乘法，满足以下公理：

• 加法和乘法都是封闭的（也就是说，对于任意的元素 $a$ 和 $b$，$a+b$ 和 $ab$ 仍然在域中）。
• 加法和乘法都是可交换的（也就是说，对于任意的元素 $a$ 和 $b$，$a+b=b+a$ 和 $ab=ba$）。
• 加法和乘法都是结合的（也就是说，对于任意的元素 $a$、$b$ 和 $c$，$a+(b+c)=(a+b)+c$ 和 $a(bc)=(ab)c$）。
• 存在加法单位元 $0$ 和乘法单位元 $1$（也就是说，对于任意的元素 $a$，$a+0=a$ 和 $a\ast 1=a$）。
• 每个元素在加法和乘法下都有一个负元素和倒数元素。也就是说，对于任意的元素 $a$，存在一个元素 $-a$ 满足 $a+(-a)=0$，并且存在一个元素 $a^{-1}$ 满足 $a{a}^{-1}=1$。

性质

域的定义表明了它的一些重要的性质和特征，包括：

• 在一个域中，两个不等于0的元素的乘积不可能等于0。
• 域的元素个数是有限的，但它的大小可以是任意的。
• 单位元是唯一的，但是一个元素可以有多个负元素和倒数元素。
• 在一个有限域中，加法和乘法都是封闭的，并且存在一些元素的幂等，具有以下性质：
  • 它们的平方等于自身。
  • 所有的元素都可以表示成 $1$ 的幂的线性组合。

分类

域可以根据不同的属性进行分类。其中一些常见的分类包括：

代数域和超越域

代数域是指一个包含有理数的域，它的每个元素都可以表示为有理系数多项式的根。因此，代数域包含了所有的代数数。例如，实数和复数都是代数域。

超越域是指一个不包含有理数的域，它的所有元素都是超越数。例如，实函数域和复函数域都是超越域。

有限域和无限域

有限域是指一个元素数量有限的域。例如，有限域可以是 Z_p，其中所有的计算都是对模 $p$ 取余。无限域是指域的元素数量是无限的，例如实数域或复数域。

特征

一个域的特征指一个最小的正整数 $n$，使得 $n\ast 1=0$，如果不存在这样的数 $n$，则特征为0。域的特征是其一个重要的特征，它可以分为以下两类：

• 特征为素数 $p$ 的域。例如，有限域 $Z_p$ 的特征为 $p$。这些域也被称为 Galois 域，因为它们的表示形式（即 Galois 字段）提供了一个继承的方式来构建有限域。
• 特征为0的域，例如实数域。

子域

一个域的子集，如果它对相同的加法和乘法满足域公理，则它是该域的子域。例如，实数域的子域包括有理数域和所有代数数域。

扩张域

一个域 $E$ 是另一个域 $F$ 的扩张，如果 $F$ 是 $E$ 的子域。例如，复数域是实数域的扩张。扩张域是域论中一个重要的概念，它可以用于解决一系列基本的问题，如勒让德-格斯陶里定理和费马大定理等。

结论

因此，域是一个重要的数学结构，它包含了一个非空的集合和两个二元操作：加法和乘法。域的定义，性质和分类提供了一个清晰的框架来描述和理解域及其相关的概念。在数学和计算机科学中，域的研究是非常重要的，因为它在众多的应用中都扮演了不可替代的角色。这些应用依赖于域的数学结构和操作特性，如密码学，编码理论，算法设计等。