代数_群

详解群的定义、性质和分类

1. 引言

群（Group）是代数学中的一种数学结构，被广泛应用于各个数学领域和物理学中。它是数学中最具有抽象性的一个概念之一，概括了数学中许多重要的理论和方法，同时在数值模拟和编程领域中也具有重要的应用。本文将详细介绍群的定义、性质和分类，以帮助读者深入理解这一数学概念。

2. 群的定义

群是一个集合 $G$ 和一个二元运算 $\ast$ 具有一下4个性质的数学结构：

1. 封闭性：对于 $a,b\in G$，$a\ast b$也在G中；
2. 结合律：对于 $a,b,c\in G$，$(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)$；
3. 恒等元：存在一个元素 $e\in G$ 使得 $\forall a\in G$，$a\ast e=e\ast a=a$；
4. 逆元：对于群 $G$ 中的任意元素 $a$，存在一个元素 $a^{-1}$，使得 $a\ast a^{-1}=a^{-1}\ast a=e$。

凭直觉，这意味着群的任意两个元素都可以通过群运算相互转换，并且第四个性质要求群的每个元素都有一个可逆元素（也就是逆元素），使得对于每个元素 $a$，乘以它的逆元素等于单位元素 $e$。而群运算 $\ast$ 必须满足封闭性和结合律，这是“运算”属性的基本的需求，另外也必须满足交换律。如果运算 $\ast$ 满足交换律，则称群为“可交换群”或阿贝尔群。

3. 群的性质

3.1 单位元和逆元的唯一性

任何群都必须具有唯一的单位元素，用 $e$ 表示。如果一个群有两个不同的单位元素 $e^{\prime }$ 和 $e^{\prime \prime }$，那么由于 $e^{\prime }$ 是群的一个单位元素，所以有 $e^{\prime }\ast e^{\prime \prime }=e^{\prime \prime }$；同样， $e^{\prime \prime }$ 也是一个单位元素，有 $e^{\prime }\ast e^{\prime \prime }=e^{\prime }$。这样就得到 $e^{\prime \prime }=e^{\prime }$，也就是说，群的单位元素必须惟一。

群元素的逆元素也必须惟一。对于同一个群元素 $a$，必须存在唯一的元素 $a^{-1}$，满足 $a\ast a^{-1}=a^{-1}\ast a=e$。

3.2 群的运算具有消去律

如果一个群运算 $\ast$ 具有消去律，即对于群 $G$ 中的任两个元素 $a$ 和 $b$，如果 $a\ast c=b\ast c$，那么 $a=b$（其中 $c$ 是 $G$ 的一个任意元素），则称群 $(G,\ast )$ 具有消去律。一般而言，形如复数的群运算是没有消去律的，但像矩阵这种多维度的群，在有特定的限制条件下是可以具有消去律的。

3.3 群的幂等性和逆幂等性

对于群 $(G,\ast )$ 中的任何元素 $g$，都有幂等性质：$g\ast g=g^2$，即群元素自乘的结果仍然是这个群的元素。此外，如果 $a\ast b=e$，那么 $a$ 和 $b$ 互为逆元素，即 $a=b^{-1}$ 且 $b=a^{-1}$。这种反向操作的性质称为逆幂等性。

3.4 群的左陪集和右陪集

如果 $H$ 是群 $G$ 的一个子集，$a\in G$，则 $aH=\{ah|h\in H\}$ 称为 $H$ 的左陪集，$Ha=\{ha|h\in H\}$称为 $H$ 的右陪集。陪集具有下列性质：

1. 两个不同的左陪集是不想交的；
2. 两个不同的右陪集是不想交的；
3. 所有左陪集的并构成了 $G$，所有右陪集的并构成了 $G$；
4. 一个元素 $g$ 在 $H$ 的左陪集中当且仅当 $a_1\ast g=a_2$，其中 $a_1$ 属于 $H$。

3.5 子群的定义

设 $(G,\ast )$ 是群，如果 $H$ 是 $G$ 的非空子集，而且 $H$ 对 $G$ 中定义的群运算 $\ast$ 封闭，且在 $H$ 中存在单位元素 $e$，那么称 $H$ 是 $G$ 的子群。

4. 群的分类

4.1 有限群与无限群

群可以分为两类：有限群和无限群。如果群具有有限个元素，则称该群为有限群，否则称该群为无限群。

4.2 压缩群与离散群

压缩群和离散群是几何对象的数学描述。如果一个群具有连续的性质，像实数一样，那么它被称为压缩群。如果一个群是一个离散对象的群，如整数或布尔代数，那么称这个群为离散群。

4.3 有限生成群

有限生成群是指存在有限个元素，使它们的各种组合可以得到群中的所有元素。例如，整数加群就是一个有限生成群。

4.4 简单群

简单群是指任意非平凡子群都与整个群相等的群，即没有非平凡的正规子群。可以证明一个群是有限简单群当且仅当它不能表示成其他有限简单群的直积。

4.5 循环群

循环群是由一个元素通过重复作用群运算所生成的群，其中这个元素称为生成元。例如，模 $n$ 的整数环中的循环群 $C_n$，就是由一个元素 $a$ 作用群运算 $+$ 所生成的群，满足 $a,a+a,a+a+a,\dots ,a+(n-1)a$ 是整数环的完整集合。