数论基础
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1. 整数和除法
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: 最基本的整数概念
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: 整数除法
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: 最大公约数（GCD）
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: 最小公倍数（LCM）
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2. 素数和素数分布
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: 素数的定义和性质
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素数筛法（如埃拉托斯特尼筛法）
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素数分布的理论和猜想（如素数定理）
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3. 模运算
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: 模运算的定义和性质
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: 逆元
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: 模运算的应用
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4. 同余
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: 同余的定义和性质
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: 同余的运算法则
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: 同余方程
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5. 费马小定理和欧拉定理
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: 费马小定理的陈述、证明和应用 （群的理论）
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: 欧拉定理的陈述、证明和应用
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6. 线性同余方程
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解线性同余方程的方法
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扩展欧几里得算法
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中国剩余定理
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7. 欧几里得算法
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欧几里得算法用于计算最大公约数
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扩展欧几里得算法用于求解线性丢番图方程
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8. Wilson定理和其他数论定理
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Wilson定理及其应用
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孙子定理等其他数论定理
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9. 算术函数
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欧拉ϕ函数
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莫比乌斯函数
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其他数论函数的性质和应用
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10. 二次剩余和二次互素
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二次剩余的定义和性质
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Legendre符号和Jacobi符号
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解二次同余方程的方法
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11. 不定方程
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丢番图方程
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佩尔方程
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其他整数解的不定方程
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12. 连分数
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连分数的定义和性质
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连分数在数论中的应用，如求解最佳有理逼近
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13. 概率数论
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整数性质的概率分布
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随机整数的算术性质
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概率数论中的其他分布和性质
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14.数论的几何和代数方法
- 椭圆曲线在数论中的应用
- 代数数域
- 代数几何方法在数论问题中的应用
这是一个完整的数论学习大纲，涵盖了数论的主要内容。根据自己的兴趣和需求，您可以有选择地深入研究某些主题。对于密码学和计算机科学背景的学习者来说，同余、模运算、费马小定理、欧拉定理等主题尤为重要。
代数基础
- 1. 基本概念和运算
- 实数、复数、有理数和无理数
- 四则运算、指数和对数运算
- 集合、关系和映射
- 2. 代数式和多项式
- 代数式的基本概念
- 多项式及其运算
- 因式分解
- 多项式的零点和根
- 3. 线性代数
- 向量空间和基底
- 矩阵运算和线性方程组
- 行列式和逆矩阵
- 特征值和特征向量
- 线性变换和相似矩阵
- 奇异值分解和主成分分析
- 4. 代数方程和代数方程组
- 一元代数方程的解法
- 高次代数方程的解法
- 系数和根之间的关系
- 代数方程组的解法
- 线性方程组的解法和应用
- 5. 群、环和域
- 群的定义、性质和分类
- 拓扑群和李群
- 环的定义、性质和分类
- 域的定义、性质和分类
- 有限域及其在密码学中的应用
- 6. 抽象代数
- 同态和同构
- 正规子群和正规子环
- 群表征和表示论
- Galois理论和代数扩张
- 7. 代数几何
- 仿射空间和射影空间
- 代数曲线和椭圆曲线
- 代数簇和概型
- 奇点和奇点消解
- 8. 数论和代数
- 整数环和整数域
- 代数数和代数数域
- 理想和整环
- 9.多元代数
- 多元多项式
- Groebner基和多项式理想
- 多元多项式的应用（如多元方程组求解）
- 10. 向量空间的几何解释
- 向量及其几何表示
- 线性无关和线性相关
- 子空间、基和维数
- 正交性和正交基
- 11. 二次型和Jordan标准形
- 二次型的定义和性质
- 二次型的规范形
- Jordan标准形的定义和性质
- 计算Jordan标准形的方法
- 12. 模型论和一阶逻辑
- 一阶逻辑的基本概念
- 模型论的基本概念
- Gödel不完备性定理
这个大纲涵盖了代数的主要内容。学习代数时，您可以根据自己的兴趣和需求有选择地深入研究某些主题。对于密码学和计算机科学背景的学习者来说，线性代数、群、环和域以及有限域等主题尤为重要。