数论_整数与除法

整数与除法是数学基础概念，这里是关于它们的详细解释：

整数（Integers）

整数是数学中最基本的概念之一，包括正整数、负整数和零。正整数是大于零的整数（如1，2，3…），负整数是小于零的整数（如-1，-2，-3…），零既不是正数也不是负数。

整数具有以下性质：

1. 封闭性：整数的加法、减法和乘法运算结果仍为整数。
2. 结合律：对于任意整数a、b和c，(a + b) + c = a + (b + c) 且 (a * b) * c = a * (b * c)。
3. 交换律：对于任意整数a和b，a + b = b + a 且 a * b = b * a。
4. 分配律：对于任意整数a、b和c，a * (b + c) = a * b + a * c。
5. 存在加法和乘法单位元：存在整数0和1，使得对于任意整数a，a + 0 = a 且 a * 1 = a。
6. 存在加法逆元：对于任意整数a，存在整数-b，使得a + (-b) = 0。

除法（Division）

除法是数学中的一种基本运算，用来求一个数被另一个数整除的商和余数。对于任意两个整数a和b（b ≠ 0），我们可以将a除以b，得到商q和余数r，满足以下关系：

a = b * q + r

其中0 ≤ r < |b|。这里，q称为商，r称为余数。

例如，当a = 17，b = 5时，我们可以得到：

17 = 5 * 3 + 2

所以，商q = 3，余数r = 2。

除法有以下性质：

1. 唯一性：对于任意整数a和非零整数b，存在唯一的整数商q和余数r满足上述关系。
2. 除法算术：除法与加法和乘法有关，满足a = b * q + r这一关系。
3. 若a能被b整除（即余数为0），则我们称a是b的倍数，b是a的因数。

注意：在整数范围内，除法不满足封闭性、结合律、交换律和分配律。例如，5除以2的商不是整数，所以整数除法不满足封闭性。

最大公约数

最大公约数（GCD）是指两个或多个整数共有约数中最大的一个，记为gcd(a,b)。其中，a和b是非零整数，且不同时为0。

最大公约数的计算方法有很多种，其中辗转相除法是最常用的一种。具体步骤如下：

1. 如果a<b，交换a和b的值。
2. 用a除以b，得到余数r。
3. 如果r=0，则gcd(a,b)=b；如果r≠0，则把b赋值给a，把r赋值给b，然后重复步骤2，直到r=0为止。

最大公倍数

最大公倍数（LCM）是指两个或多个整数公有倍数中最小的一个，记为lcm(a,b)。其中，a和b是非零整数。

最大公倍数的计算方法有多种，常用的方法有因数分解法和公式法。具体方法如下：

1. 因数分解法：分别分解a和b的质因数，然后乘以各自的最高次幂，得到lcm(a,b)。 例如，假设a=2^2×3^3×5，b=2×3×5^2，那么lcm(a,b)=2^2×3^3×5^2=1800。
2. 公式法：lcm(a,b)=a×b÷gcd(a,b)。