横截面标准化与中性化

引言

在量化投资的因子研究中，横截面处理（Cross-sectional Processing）是最容易被忽视，却是最关键的技术环节。它不仅仅是一种数学技巧，更是一种投资哲学的转变：从”预测绝对价格”到”预测相对强弱”。

本文将深入探讨横截面标准化的三大核心工具：Z-score、Rank和Neutralization，从数学原理到金融含义，从理论推导到实践应用，全面解析量化投资的横截面工程。

1. Z-score数学原理

1.1 标准化公式推导

Z-score（标准分数）是最常用的标准化方法，它将数据转换为标准正态分布。在横截面处理的语境下，Z-score将同一时刻所有资产的因子值标准化。

基础公式

对于 $t$ 时刻的横截面数据 ${x_{1, t}, x_{2, t}, \dots, x_{N, t}}$ ，其中 $N$ 是资产数量，Z-score定义为：

$z_{i, t} = \frac{x _{i, t} - μ _{t}}{σ _{t}}$

其中：

$μ_{t} = \frac{1}{N} \sum_{j = 1}^{N} x_{j, t}$ 是 $t$ 时刻的横截面均值
$σ_{t} = \frac{1}{N} \sum_{j = 1}^{N} (x_{j, t} - μ_{t})^{2}$ 是横截面标准差

性质证明

性质1：标准化后的均值为0

证明：

$E [z_{i, t}] = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} \frac{x _{i, t} - μ _{t}}{σ _{t}}$

$= \frac{1}{N σ _{t}} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i, t} - μ_{t})$

$= \frac{1}{N σ _{t}} (\sum_{i = 1}^{N} x_{i, t} - N μ_{t})$

$= \frac{1}{N σ _{t}} (N μ_{t} - N μ_{t})$

$= 0 ■$

性质2：标准化后的方差为1

证明：

$Va r [z_{i, t}] = E [z_{i, t}^{2}] - (E [z_{i, t}])^{2}$

$= E [z_{i, t}^{2}] - 0 （由性质 1 ）$

$= \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (\frac{x _{i, t} - μ _{t}}{σ _{t}})^{2}$

$= \frac{1}{N σ _{t}^{2}} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i, t} - μ_{t})^{2}$

$= \frac{1}{N σ _{t}^{2}} \cdot N σ_{t}^{2}$

$= 1 ■$

性质3：Z-score对线性变换不变

对于线性变换 $y = a x + b$ （ $a > 0$ ），标准化后的结果相同：

证明：

$y_{i, t} = a x_{i, t} + b$

$μ_{y} = \frac{1}{N} \sum_{j = 1}^{N} (a x_{j, t} + b) = a μ_{x} + b$

$σ_{y} = \frac{1}{N} \sum_{j = 1}^{N} (a x_{j, t} + b - a μ_{x} - b)^{2}$

$= \frac{1}{N} \sum_{j = 1}^{N} a^{2} (x_{j, t} - μ_{x})^{2}$

$= a σ_{x}$

$z_{y} = \frac{y _{i, t} - μ _{y}}{σ _{y}} = \frac{a x _{i, t} + b - a μ _{x} - b}{a σ _{x}}$

$= \frac{a ( x _{i, t} - μ _{x} )}{a σ _{x}} = \frac{x _{i, t} - μ _{x}}{σ _{x}} = z_{x} ■$

这个性质非常重要：无论原始因子的量纲和单位如何，标准化后都统一到相同的尺度。

1.2 金融意义：偏离均值的标准差倍数

Z-score在金融中的含义远不止”标准化”，它度量的是一个资产相对于横截面平均水平的位置。

解释维度

维度1：相对强弱

$z = 0$ ：资产 $i$ 的因子值等于横截面平均水平
$z = 1$ ：资产 $i$ 的因子值比平均水平高1个标准差
$z = - 1$ ：资产 $i$ 的因子值比平均水平低1个标准差
$z = 2$ ：资产 $i$ 的因子值显著高于平均水平（正态分布下约2.3%概率）
$z = - 2$ ：资产 $i$ 的因子值显著低于平均水平（正态分布下约2.3%概率）

维度2：风险度量

Z-score可以视为风险暴露的度量：

$∣ z ∣$ 大：该资产的因子值显著偏离平均水平，可能是高暴露或高风险
$∣ z ∣$ 小：该资产的因子值接近平均水平，暴露正常

维度3：标准化信号

标准化后的信号可以作为模型输入：

多个不同单位的因子（PE、ROE、波动率）可以线性组合
模型训练更稳定（避免数值问题）
因子权重可解释性更强

实际案例

假设我们有3只股票的PE值：

股票A：PE = 30
股票B：PE = 20
股票C：PE = 10

步骤1：计算均值和标准差

$μ = (30 + 20 + 10) /3 = 20$

$σ = ((30 - 20)^{2} + (20 - 20)^{2} + (10 - 20)^{2}) /3$

$= (100 + 0 + 100) /3 = 66.67 = 8.16$

步骤2：计算Z-score

$z_{A} = (30 - 20) /8.16 = 1.22$ $z_{B} = (20 - 20) /8.16 = 0$ $z_{C} = (10 - 20) /8.16 = - 1.22$

解读

股票A：PE比平均水平高1.22个标准差，属于”高估值”股票
股票B：PE等于平均水平，属于”中性估值”股票
股票C：PE比平均水平低1.22个标准差，属于”低估值”股票

如果我们在做价值投资（低PE买入），那么股票C是最佳选择（Z-score最小）。

1.3 跨因子可加性的数学证明

Z-score标准化的核心价值在于：不同单位、不同量纲的因子可以线性组合。

问题提出

假设我们有两个因子：

因子1：PE（市盈率），单位是倍数，范围[5, 100]
因子2：ROE（净资产收益率），单位是百分比，范围[-10%, 30%]

如果我们想构建综合因子：

$Composite = w_{1} \cdot PE + w_{2} \cdot ROE$

问题：

PE的值是ROE的3-10倍，ROE的权重会被PE淹没
不同单位无法直接比较

解决方案：Z-score标准化

对两个因子分别标准化：

$z_{PE} = \frac{PE - μ _{PE}}{σ _{PE}}$ $z_{ROE} = \frac{ROE - μ _{ROE}}{σ _{ROE}}$

构建综合因子：

$Composite = w_{1} \cdot z_{PE} + w_{2} \cdot z_{ROE}$

可加性证明

我们要证明：标准化后的因子满足”可加性”，即不同因子的贡献是可比的。

命题：对于任意两个因子 $X$ 和 $Y$ ，标准化后 $z_{X}$ 和 $z_{Y}$ 在同一尺度上。

证明：

标准化后的因子满足： $E [z_{X}] = E [z_{Y}] = 0$ $Va r [z_{X}] = Va r [z_{Y}] = 1$

因此：

$Composite = w_{1} z_{X} + w_{2} z_{Y}$

$E [Composite] = w_{1} \cdot 0 + w_{2} \cdot 0 = 0$

$Va r [Composite] = w_{1}^{2} \cdot 1 + w_{2}^{2} \cdot 1 + 2 w_{1} w_{2} Cov (z_{X}, z_{Y})$

$= w_{1}^{2} + w_{2}^{2} + 2 w_{1} w_{2} ρ_{X Y}$

其中 $ρ_{X Y} = Corr (z_{X}, z_{Y})$ 是相关系数。

关键点：

$z_{X}$ 和 $z_{Y}$ 都在相似的范围（均值0，方差1）
权重 $w_{1}, w_{2}$ 直接反映因子的相对重要性
$w_{1} = w_{2}$ 意味着两个因子同等重要 $■$

实际应用

假设我们构建价值因子：

$Value = 0.6 \cdot z_{PE} - 0.4 \cdot z_{ROE}$

解读：

低PE（ $z_{PE}$ 小）是好
高ROE（ $z_{ROE}$ 大）是好
因此：PE取负号，ROE取正号

如果不标准化： $Value = 0.6 \cdot PE - 0.4 \cdot ROE$

问题：

PE ≈ 30，ROE ≈ 0.15
PE项 = 18，ROE项 = -0.06
ROE的贡献几乎可以忽略，被PE完全淹没

1.4 时序Z-score vs 横截面Z-score

Qlib中Z-score有两种计算方式：时序（Time-Series）和横截面（Cross-Sectional），它们的金融含义完全不同。

时序Z-score

对于资产 $i$ 在时间 $t$ 的因子值 $x_{i, t}$ ，时序Z-score定义为：

$z_{i, t}^{ts} = \frac{x _{i, t} - μ _{i}}{σ _{i}}$

其中：

$μ_{i} = \frac{1}{T} \sum_{t = 1}^{T} x_{i, t}$ 是资产 $i$ 的时序均值
$σ_{i} = \frac{1}{T} \sum_{t = 1}^{T} (x_{i, t} - μ_{i})^{2}$ 是时序标准差

金融含义：

度量资产 $i$ 的因子值相对于自身历史的位置
$z_{i, t}^{ts} = 1$ ：当前值比历史平均高1个标准差
$z_{i, t}^{ts} = - 1$ ：当前值比历史平均低1个标准差

应用场景：

动量因子：当前价格是否显著高于历史平均
均值回归策略：当前值是否显著偏离历史均值

横截面Z-score

对于 $t$ 时刻的横截面数据 ${x_{1, t}, x_{2, t}, \dots, x_{N, t}}$ ，横截面Z-score定义为：

$z_{i, t}^{cs} = \frac{x _{i, t} - μ _{t}}{σ _{t}}$

其中：

$μ_{t} = \frac{1}{N} \sum_{j = 1}^{N} x_{j, t}$ 是 $t$ 时刻的横截面均值
$σ_{t} = \frac{1}{N} \sum_{j = 1}^{N} (x_{j, t} - μ_{t})^{2}$ 是横截面标准差

金融含义：

度量资产 $i$ 相对于其他资产的位置
$z_{i, t}^{cs} = 1$ ：当前值比其他资产平均水平高1个标准差
$z_{i, t}^{cs} = - 1$ ：当前值比其他资产平均水平低1个标准差

应用场景：

相对强弱：当前资产是否比其他资产强
横截面选股：选出比其他资产表现好的股票

对比分析

维度	时序Z-score	横截面Z-score
比较基准	自身历史	其他资产
计算维度	时间维度	资产维度
金融含义	当前是否偏离历史平均	当前是否优于其他资产
策略类型	均值回归、趋势跟踪	相对强弱、多因子选股
Qlib默认	否	是

实际案例

假设我们有2只股票5天的价格：

时间	股票A价格	股票B价格
Day 1	100	50
Day 2	110	55
Day 3	120	60
Day 4	130	65
Day 5	140	70

时序Z-score（对每只股票单独计算）

股票A：

$μ_{A} = (100 + 110 + 120 + 130 + 140) /5 = 120$
$σ_{A} = ((100 - 120)^{2} + \dots + (140 - 120)^{2}) /5 = 15.81$
Day 5: $z_{A} = (140 - 120) /15.81 = 1.26$

股票B：

$μ_{B} = (50 + 55 + 60 + 65 + 70) /5 = 60$
$σ_{B} = 7.91$
Day 5: $z_{B} = (70 - 60) /7.91 = 1.26$

解读：

两只股票在Day 5都比各自历史高1.26个标准差
如果做均值回归，都应该卖出

横截面Z-score（对每一天单独计算）

Day 5：

$μ_{Day5} = (140 + 70) /2 = 105$
$σ_{Day5} = ((140 - 105)^{2} + (70 - 105)^{2}) /2 = 35$
$z_{A} = (140 - 105) /35 = 1$
$z_{B} = (70 - 105) /35 = - 1$

解读：

股票A比股票B强2个标准差（ $z_{A} - z_{B} = 1 - (- 1) = 2$ ）
如果做多空策略：买入股票A，做空股票B

关键差异

时序Z-score关注”当前是否偏离历史”，横截面Z-score关注”当前是否优于其他”。在多因子选股中，我们更关注后者，因此Qlib默认使用横截面Z-score。

2. Rank标准化

2.1 Rank公式与离散化

Rank标准化将连续的因子值转换为离散的排序位置，再缩放到 $[0, 1]$ 区间。它是对异常值最鲁棒的标准化方法。

基础公式

对于 $t$ 时刻的横截面数据 ${x_{1, t}, x_{2, t}, \dots, x_{N, t}}$ ，Rank标准化定义为：

$Rank (x_{i, t}) = \frac{rank ( x _{i, t} ) - 1}{N - 1}$

其中 $rank (x_{i, t})$ 是 $x_{i, t}$ 在 ${x_{1, t}, x_{2, t}, \dots, x_{N, t}}$ 中的排序位置（从1开始，1是最小值，N是最大值）。

离散化过程

Rank标准化实际上是三步过程：

Step 1：排序 $r_{i} = rank (x_{i, t})$ 将连续值 $x_{i, t}$ 转换为离散的排序位置 $r_{i} \in {1, 2, \dots, N}$

Step 2：平移 $r_{i}^{'} = r_{i} - 1$ 将排序位置从 $[1, N]$ 平移到 $[0, N - 1]$

Step 3：缩放 $z_{i} = \frac{r _{i}^{'}}{N - 1}$ 将排序位置从 $[0, N - 1]$ 缩放到 $[0, 1]$

性质

性质1：输出在 $[0, 1]$ 区间

证明：

最小值： $z_{m i n} = (1 - 1) / (N - 1) = 0$
最大值： $z_{m a x} = (N - 1) / (N - 1) = 1$
任意值： $0 \leq z_{i} \leq 1 ■$

性质2：均匀分布

在无重复值的情况下，排序后的值在 $[0, 1]$ 上均匀分布：

$P (z_{i} \leq α) = α, \forall α \in [0, 1]$

这意味着：

排名前10%的股票 $z > 0.9$
排名后10%的股票 $z < 0.1$

性质3：对单调变换不变

对于任意单调递增函数 $f (\cdot)$ ，标准化后的排序不变：

$Rank (f (x_{i})) = Rank (x_{i})$

证明：单调递增函数保持顺序： $x_{i} < x_{j} ⟺ f (x_{i}) < f (x_{j})$

因此排序位置相同： $rank (f (x_{i})) = rank (x_{i}) ■$

这个性质非常重要：Rank只关心”谁比谁大”，不关心大多少。

2.2 异常值处理的鲁棒性证明

Rank标准化最大的优势在于对异常值（Outlier）的鲁棒性。

问题场景

假设我们有4只股票的PE值：

股票A：PE = 15
股票B：PE = 20
股票C：PE = 25
股票D：PE = 10000 ← 异常值（数据错误或极端情况）

Z-score标准化

步骤1：计算均值和标准差

$μ = (15 + 20 + 25 + 10000) /4 = 2515$ $σ = ((15 - 2515)^{2} + (20 - 2515)^{2} + (25 - 2515)^{2} + (10000 - 2515)^{2}) /4$ $= (249 5^{2} + 249 5^{2} + 249 0^{2} + 748 5^{2}) /4$ $= (6, 225, 025 + 6, 225, 025 + 6, 200, 100 + 56, 025, 225) /4$ $= 74, 675, 375/4 = 18, 668, 843.75 = 4321$ $\approx 4321$

步骤2：计算Z-score

$z_{A} = (15 - 2515) /4321 = - 0.58$ $z_{B} = (20 - 2515) /4321 = - 0.58$ $z_{C} = (25 - 2515) /4321 = - 0.58$ $z_{D} = (10000 - 2515) /4321 = 1.73$

问题分析：

股票D的异常值（10000）严重影响了均值和标准差
A、B、C三只股票的Z-score几乎相同（-0.58），无法区分
股票D的Z-score是1.73，看起来不极端，但实际上它是严重异常值

Rank标准化

步骤1：排序

$x_{A} = 15, x_{B} = 20, x_{C} = 25, x_{D} = 10000$ $rank (x_{A}) = 1$ $rank (x_{B}) = 2$ $rank (x_{C}) = 3$ $rank (x_{D}) = 4$

步骤2：标准化

$z_{A} = (1 - 1) / (4 - 1) = 0$ $z_{B} = (2 - 1) /3 = 0.33$ $z_{C} = (3 - 1) /3 = 0.67$ $z_{D} = (4 - 1) /3 = 1$

优势分析：

股票D的异常值只影响它自己的排序（第4名），不影响其他股票
A、B、C三只股票的排序清晰区分（0, 0.33, 0.67）
股票D虽然是异常值，但在Rank中只是”第4名”，不会拉高或拉低其他股票的分数

鲁棒性证明

命题：Rank标准化对异常值不敏感。

证明：

设横截面数据 ${x_{1}, x_{2}, \dots, x_{N}}$ ，其中 $x_{N}$ 是异常值（远大于其他数据）。

Z-score的影响：

$μ = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} x_{i} = \frac{1}{N} (\sum_{i = 1}^{N - 1} x_{i} + x_{N})$

当 $x_{N} ≫ x_{i}$ （ $i < N$ ）时， $μ \approx x_{N} / N$ ，均值被拉高。

$σ = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - μ)^{2}$

当 $x_{N}$ 很大时， $(x_{N} - μ)^{2}$ 很大，标准差被拉高。

对于正常数据 $x_{i}$ （ $i < N$ ）：

$z_{i} = \frac{x _{i} - μ}{σ}$

由于 $μ$ 和 $σ$ 都被 $x_{N}$ 拉高， $z_{i}$ 的值会变得接近，难以区分。

Rank的影响：

对于任意 $i < j < N$ ： $x_{i} < x_{j} ⟹ rank (x_{i}) < rank (x_{j})$

排序不受 $x_{N}$ 的大小影响，只受相对大小影响。

$Rank (x_{i}) = \frac{rank ( x _{i} ) - 1}{N - 1}$

$x_{N}$ 只影响它自己的排序，不影响其他数据的排序位置。 $■$

2.3 适用场景分析

Rank标准化在以下场景中表现优异：

场景1：因子分布严重偏态

如果因子的分布不是正态分布，而是严重偏态（如指数分布、幂律分布），Z-score的效果会变差。

案例：市值因子

大多数股票的市值较小，少数股票市值巨大（如茅台、腾讯）。市值的分布是右偏的（长尾分布）。

Z-score：会被大市值股票拉高均值和标准差，中小市值股票的Z-score会集中在负值区域
Rank：不受分布形状影响，只看相对排序

场景2：存在极端异常值

如果因子中存在极端异常值（数据错误、黑天鹅事件），Z-score会失效。

案例：停牌后复牌的股票

某股票停牌3年后复牌，涨了10倍。这个极端值会严重拉高Z-score的均值和标准差。

Z-score：受极端值影响严重
Rank：异常值只是”第1名”，不影响其他股票

场景3：只关注相对强弱

如果你的策略只关心”哪个股票比哪个强”，而不关心强多少，Rank是最佳选择。

案例：多空对冲策略

做多前20%股票，做空后20%股票。策略只关心排名，不关心具体分数。

Z-score：需要选择阈值（如 $z > 1$ ），阈值的选择会影响策略
Rank：直接选前20%（ $z > 0.8$ ），阈值清晰

场景4：非线性关系

如果因子与收益的关系是非线性的，Rank可以捕捉到这种非线性。

案例：动量因子

动量与收益的关系可能是非线性的：

动量前10%：收益最高
动量10%-50%：收益中等
动量后50%：收益最低
Z-score：假设线性关系，可能忽略非线性结构
Rank：自然处理非线性，只看排序分组

不适用场景

场景1：需要精确比较

如果需要精确比较两个因子的值，Rank不适用，因为它丢失了数值信息。

案例：风险管理

如果需要计算因子的波动率、VaR等，Z-score更合适。

场景2：因子分布接近正态

如果因子的分布接近正态分布，Z-score的统计性质更好（均值0、方差1）。

案例：因子组合的权重计算

Z-score的均值为0、方差为1，便于理论推导和权重计算。

3. Neutralization回归模型

3.1 数学推导

Neutralization（中性化）是横截面处理中最复杂、最强大的工具。它的核心思想是通过回归剔除”作弊因素”（如行业、市值），只保留”纯Alpha”。

线性回归模型

对于 $t$ 时刻的横截面数据，我们构建多元线性回归模型：

$x_{i} = β_{0} + \sum_{j = 1}^{K} β_{j} \cdot f_{i, j} + ε_{i}$

其中：

$x_{i}$ ：资产 $i$ 的因子值（如PE、ROE、动量等）
$β_{0}$ ：截距项
$β_{j}$ ：第 $j$ 个控制变量的回归系数
$f_{i, j}$ ：资产 $i$ 在第 $j$ 个控制变量上的暴露（如行业哑变量、市值）
$ε_{i}$ ：残差（中性化后的因子值）

矩阵形式

设：

$y \in R^{N}$ ：因子值向量 $x_{1} x_{2} ⋮ x_{N}$
$X \in R^{N \times (K + 1)}$ ：控制变量矩阵 $11 ⋮ 1 f_{1, 1} f_{2, 1} ⋮ f_{N, 1} \dots \dots ⋱ \dots f_{1, K} f_{2, K} ⋮ f_{N, K}$
$β \in R^{K + 1}$ ：回归系数向量 $β_{0} β_{1} ⋮ β_{K}$
$ε \in R^{N}$ ：残差向量 $ε_{1} ε_{2} ⋮ ε_{N}$

回归方程：

$y = Xβ + ε$

OLS估计

通过最小二乘法估计 $β$ ：

$\hat{β} = ar g min_{β} ∥ y - Xβ ∥^{2}$

求导：

$\frac{\partial}{\partial β} ∥ y - Xβ ∥^{2} = - 2 X^{T} (y - Xβ)$

令导数为0：

$- 2 X^{T} (y - Xβ) = 0$ $X^{T} y - X^{T} Xβ = 0$ $X^{T} Xβ = X^{T} y$ $β = (X^{T} X)^{- 1} X^{T} y$

残差计算

$ε = y - Xβ$ $= y - X (X^{T} X)^{- 1} X^{T} y$ $= (I - H) y$

其中 $H = X (X^{T} X)^{- 1} X^{T}$ 是投影矩阵（Hat Matrix）。

中性化后的因子

$x_{i}^{neu} = ε_{i} = x_{i} - (β_{0} + \sum_{j = 1}^{K} β_{j} \cdot f_{i, j})$

3.2 行业中性化

目的

剔除行业因子暴露，确保因子收益不来自行业轮动。

场景示例

假设你有3只股票：

股票A：行业=白酒，因子值=10
股票B：行业=白酒，因子值=8
股票C：行业=科技，因子值=9

不中性化的问题

如果白酒板块整体上涨（行业Beta），股票A和B的收益部分来自行业因子，而不是你的因子有效。

中性化过程

步骤1：构造行业哑变量

构造行业哑变量矩阵 $X$ ：

$X = 111110001$

其中：

第1列：截距项（全为1）
第2列：白酒行业哑变量（1=是，0=否）
第3列：科技行业哑变量（1=是，0=否）

步骤2：回归

$y = 1089 = Xβ + ε$

计算 $β$ ：

$β = (X^{T} X)^{- 1} X^{T} y$

$X^{T} X = 110110101111110001 = 321220101$

$(X^{T} X)^{- 1} = \frac{1}{2} 2 - 2 - 2 - 2 22 - 2 24 = 1 - 1 - 1 - 1 11 - 1 12$

$X^{T} y = 1101101011089 = 27189$

$β = 1 - 1 - 1 - 1 11 - 1 12 27189 = 27 - 18 - 9 - 27 + 18 + 9 - 27 + 18 + 18 = 009$

步骤3：计算残差

$ε = y - Xβ = 1089 - 111110001009$

$= 1089 - 009 = 1080$

解读

股票A：残差=10，说明它比白酒行业平均（9）高1
股票B：残差=8，说明它比白酒行业平均（9）低1
股票C：残差=0，说明它等于科技行业平均（9）

经济含义

$ε_{i}$ 是”剔除行业因素后的纯Alpha”：

股票A的因子收益中，剔除行业贡献后，还剩10
股票B的因子收益中，剔除行业贡献后，只剩8
股票C的因子收益中，科技行业贡献了9，纯Alpha为0

3.3 市值中性化

目的

剔除市值风格因子暴露，确保因子收益不来自大小盘风格切换。

场景示例

假设我们有4只股票：

股票	行业	市值（亿）	因子值
A	白酒	100	10
B	白酒	100	8
C	科技	50	9
D	科技	50	7

回归模型

$x_{i} = β_{0} + β_{1} \cdot industry_{i} + β_{2} \cdot lo g (cap_{i}) + ε_{i}$

其中：

$industry_{i}$ ：行业哑变量（1=白酒，0=科技）
$lo g (cap_{i})$ ：对数市值（市值通常服从对数正态分布）

构造控制变量矩阵

$X = 11111100 lo g (100) lo g (100) lo g (50) lo g (50) = 11111100 4.61 4.61 3.91 3.91$

计算残差

（省略详细计算，假设回归结果为 $β = [0, 0.5, 0.5]^{T}$ ）

$ε = y - Xβ$

经济含义

$ε_{i}$ 是”剔除行业和市值效应后的纯Alpha”：

股票A的因子值=10，但考虑到行业效应（+0.5）和市值效应（ $0.5 \times 4.61 = 2.31$ ），纯Alpha≈7.19
股票B的因子值=8，纯Alpha≈5.19
股票C的因子值=9，但市值较小（ $0.5 \times 3.91 = 1.96$ ），纯Alpha≈7.04
股票D的因子值=7，纯Alpha≈5.04

3.4 双重中性化

定义

同时进行行业中性化和市值中性化，剔除两个维度的”作弊因素”。

回归模型

$x_{i} = β_{0} + \sum_{j = 1}^{J} α_{j} \cdot industry_{i, j} + β_{1} \cdot lo g (cap_{i}) + ε_{i}$

其中：

$industry_{i, j}$ ：行业 $j$ 的哑变量（ $J$ 个行业）
$α_{j}$ ：行业 $j$ 的回归系数
$lo g (cap_{i})$ ：对数市值
$ε_{i}$ ：残差（双重中性化后的因子）

残差的经济含义

$ε_{i} = 纯 Alpha = x_{i} - 行业效应 j = 1 \sum J α_{j} \cdot industry_{i, j} - 市值效应 β_{1} \cdot lo g (cap_{i})$

$ε_{i}$ 表示：

剔除了行业效应（同一行业内的股票）
剔除了市值效应（同等市值下的股票）
剩下的才是”纯选股能力”

3.5 残差的可解释性证明

命题1：残差均值为0

证明：

$E [ε] = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} ε_{i} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (y_{i} - X_{i} β)$

$= \frac{1}{N} (\sum_{i = 1}^{N} y_{i} - \sum_{i = 1}^{N} X_{i} β)$

$= \frac{1}{N} (N \overset{y}{ˉ} - N \overset{ˉ}{X} β)$

由于 $\hat{β}$ 是OLS估计，满足正规方程：

$X^{T} (y - Xβ) = 0$

即：

$\sum_{i = 1}^{N} X_{i} (y_{i} - X_{i} β) = 0$

取第一行（截距项， $X_{i, 0} = 1$ ）：

$\sum_{i = 1}^{N} (y_{i} - X_{i} β) = 0$

$⟹ \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (y_{i} - X_{i} β) = 0$

$⟹ E [ε] = 0 ■$

命题2：残差与控制变量正交

证明：

$X^{T} ε = X^{T} (y - Xβ) = X^{T} y - X^{T} Xβ$

代入 $β = (X^{T} X)^{- 1} X^{T} y$ ：

$= X^{T} y - X^{T} X (X^{T} X)^{- 1} X^{T} y$

$= X^{T} y - X^{T} y = 0$

因此：

$Cov (ε, X) = \frac{1}{N} X^{T} ε = 0 ■$

金融含义

残差与控制变量不相关，说明：

残差中不包含行业因子（如果控制变量包含行业哑变量）
残差中不包含市值因子（如果控制变量包含市值）
残差是”剔除了风格因子后的纯Alpha”

4. 三者组合实践

4.1 最佳实践流程

横截面处理通常是多个步骤的组合，最佳实践流程如下：

Step 1：Z-score标准化

将不同单位的因子标准化到同一尺度：

$Factor_{z} = \frac{Factor - μ}{σ}$

Step 2：中性化

剔除行业、市值等风格因子：

$Factor_{neu} = Factor_{z} - Xβ$

其中 $X$ 是控制变量矩阵（行业、市值等）， $β$ 是回归系数。

Step 3：二次标准化（可选）

中性化后，因子的分布可能偏离标准正态分布，可以再次标准化：

$Factor_{final} = \frac{Factor _{neu} - μ _{neu}}{σ _{neu}}$

4.2 顺序依赖关系

顺序A：Z-score → Neutralize ✓

这是正确的顺序。

理由：

Z-score将不同单位的因子标准化（如PE和ROE）
标准化后的因子在同一尺度上，可以放入同一个回归模型
中性化时，回归系数 $β$ 的单位统一，解释性更强

顺序B：Neutralize → Z-score ✗

这是错误的顺序。

问题：

中性化前的因子量纲不同（PE=倍数，ROE=百分比）
回归系数 $β$ 的单位不统一，解释性差
不同因子的残差不在同一尺度上，难以比较

4.3 性能优化技巧

技巧1：向量化回归

对于大型数据集（如A股5000只股票），应该使用向量化回归，而不是for循环：

慢（for循环）：

for t in time_grid:
    for i in range(N):
        residual[i] = factor[i] - sum(beta[j] * control[i, j] for j in range(K))

快（向量化）：

residual = factor - X @ beta

技巧2：行业哑变量稀疏矩阵存储

行业哑变量矩阵 $X$ 是稀疏的（大部分元素为0），应该使用稀疏矩阵存储：

节省内存：

密集矩阵： $5000 \times 30$ 个float，约 $1.2$ MB
稀疏矩阵：只存储非零元素，约 $0.05$ MB（节省96%）

技巧3：批量中性化

对于时间序列数据，可以批量中性化：

# 一次性中性化所有时刻
residual_matrix = factor_matrix - X @ beta_matrix

而不是逐时刻中性化：

# 逐时刻中性化（慢）
for t in range(T):
    residual_matrix[t] = factor_matrix[t] - X @ beta[t]

5. 总结

横截面标准化与中性化是量化投资中从”绝对预测”到”相对强弱”转变的关键技术。

核心要点回顾

Z-score：
- 公式： $z = (x - μ) / σ$
- 金融含义：偏离均值的标准差倍数
- 优势：不同单位因子可线性组合
- 劣势：对异常值敏感
Rank：
- 公式： $z = (r - 1) / (N - 1)$ ，其中 $r$ 是排序位置
- 金融含义：只在乎”谁比谁强”，不在乎强多少
- 优势：对异常值鲁棒
- 劣势：丢失数值信息
Neutralization：
- 公式： $ε = y - Xβ$
- 金融含义：剔除风格因子后的纯Alpha
- 优势：纯化信号，剥离风格暴露
- 劣势：计算复杂
组合实践：
- 最佳顺序：Z-score → Neutralize → (可选)再次标准化
- 性能优化：向量化回归、稀疏矩阵、批量处理

量化投资哲学的转变

通过横截面标准化和中性化，量化投资的思维发生了质的变化：

从”预测价格”到”预测相对强弱”：

传统：预测股票A明天涨不涨
现代：预测股票A明天是否比股票B强

从”赚取Beta”到”提取Alpha”：

传统：赌行业轮动、风格切换
现代：剔除风格，只捕获纯Alpha

从”追求精确”到”追求稳定”：

传统：预测具体价格（难）
现代：预测相对排名（容错率高）

横截面处理不是数学技巧，而是一种投资策略：

我们不赌国运涨跌，也不赌行业轮动，我们只赌”同一环境下，谁比谁强”。

在下一文档中，我们将深入探讨另一个核心主题：Horizon对齐（Label Shift），这是消除未来函数并建立因果预测关系的关键技术。

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03-横截面标准化与中性化